Jest doktorem habilitowanym prawa, profesorem Uniwersytetu Kardynała Stefana Wyszyńskiego. Studia prawnicze ukończył na Wydziale Prawa i Administracji Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu.
W Toruniu uczęszczał też na pozaetatową aplikację prokuratorską.
Prof. Muszyński specjalizuje się naukowo w prawie publicznym, zarówno międzynarodowym, jak i państwowym, w tym również w prawie Unii Europejskiej oraz polskim i niemieckim prawie konstytucyjnym.
Jest autorem oraz współautorem blisko 200 publikacji naukowych i prasowych. Publikował w Polsce i za granicą m.in. w USA, Niemczech, na Ukrainie.
Wiele z nich dotyczy funkcjonowania państwa w środowisku prawnym.
Jest redaktorem naczelnym rocznika Polski Przegląd Stosunków Międzynarodowych oraz członkiem rad naukowych i kolegiów redakcyjnych w wielu czasopismach naukowych, w tym m.in.: Kwartalniku Prawa Publicznego, Zeszytach Prawniczych UKSW, Ius Novum, Polish Review of International and European Law. Jest członkiem stowarzyszenia naukowego International Law Association.
Posiada doświadczenie dydaktyczne. Prowadzi wykłady od 2002 r. Na uniwersytecie pełnił też funkcję kierownika katedry oraz prodziekana ds. współpracy międzynarodowej.
Był zatrudniony w Ministerstwie Spraw Zagranicznych na stanowiskach prawnych, w tym był kierownikiem działu prawnego w Ambasadzie RP w Berlinie.
Pełnił też funkcję Przedstawiciela Ministra Spraw Zagranicznych ds. współpracy polsko-niemieckiej. Był Przedstawicielem Rządu RP w niemieckiej Fundacji „Pamięć, Odpowiedzialność i Przyszłość”.
Był członkiem Rady Legislacyjnej przy Prezesie Rady Ministrów, a także wielokrotnie ekspertem Sejmu RP.
Działał też na forum organizacji pozarządowych. Był Przewodniczącym Zarządu Fundacji Polsko-Niemieckie Pojednanie.
Sejm dwukrotnie wybrał go na członka Trybunału Stanu na kadencję 2011-2015 oraz na funkcję zastępcy przewodniczącego Trybunału Stanu w 2015 r.
Dnia 2 grudnia 2015 r. został wybrany przez Sejm RP na sędziego Trybunału Konstytucyjnego i 3 grudnia 2015 r. złożył ślubowanie wobec Prezydenta RP.
Dnia 5 lipca 2017 r. został powołany przez Prezydenta RP na stanowisko wiceprezesa Trybunału Konstytucyjnego.